指數分配與排隊理論
令 W 表示在 Poisson 過程中，由開始到第一次事件發生的時間（這是一隨機變數）。由上節知
但
所以
這個機率分配稱為指數分配。可計算得
，這就是第一次事件發生的平均時間。另外，
。
現在讓我們討論排隊理論。排隊的現象無所不在：買各種票、吃自助餐、超商、百貨公司……等。顧客揣度「應該排那一服務櫃台會比較快？」「到底還要排多久？」是城市生活的基本問題；相對的，商家也要盤算到底在何時要開幾個窗口櫃台才符合成本，探討這個問題的數學理論通稱為排隊理論，而指數分配經常被用到排隊理論，當作服務客人時間（這是一隨機變數）的機率密度函數。
讓我們假設某櫃台，服務客人的平均時間為 μ，想像在服務結束後，櫃員會亮燈請下一位客人進來，則亮燈的平均時間是 μ。若將「燈亮」視為一事件發生，則亮燈的過程近似於一 Poisson 過程。而且前面定義的 W 正好表示兩次亮燈間的間隔。所以 W 的機率密度函數是指數分配：
例.
現假設一櫃台平均服務時間為 3 分鐘，設等待時間的機率密度函數為
(1)等候時間超過6分鐘的機率是多少？
事實上，等候超過 T 分鐘的機率是
。
(2) 另一個合理的問題是，如果在我前面還有另一個客人，則我怎麼描述，我等待時間的機率分配呢？
令 W1 是第一個客人等待的時間，W2 是第一個客人開始被服務後，我所等待的時間，則
，而且總等待時間 U = W1+W2，另外顯然 W1 與 W2 是互相獨立的。所以我們的問題就是要計算 fU(t)，由309頁例子的方法，可以計算得
或者，如果將指數分配 fW(t) 想成是
分配，則此相當於
因此如果我們想知道總等候時間不超過 5 分鐘的機率，則
有一半的機會。
(3) 如果前面有 n-1 個客人時，則可定義
，其中 Wi 彼此獨立，由 Gamma 分配性質知
，即
這告訴我們
分配與排隊理論的關係。我們將細節留作習題。
習題：
(1) 超級市場一服務員平均服務時間為 2 分鐘，若用指數分配當作等候時間之機率分配，則機率密度函數是什麼？
(2) 如果他正開始服務一位客人，而你前面還有一位客人在等候，則你會等超過 6 分鐘的機率是多少？
(3) 若服務員甲平均服務時間為 2 分鐘，而服務員乙之平均服務時間為 3 分鐘，如果你選擇乙，你朋友選擇甲，且一起開始接受服務，則你會比朋友快的機率是多少？（當然甲與乙的服務是相互獨立的）
你能給出一個一般的計算公式嗎？