##逆矩阵的性质和求法
逆矩阵的性质
性质1: A可逆⇒∣A−1∣=1∣A∣A可逆\Rightarrow|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}A可逆⇒∣A−1∣=∣A∣1
性质2: A可逆⇒A−1可逆,(A−1)−1=AA可逆\Rightarrow A^{-1}可逆, (A^{-1})^{-1}=AA可逆⇒A−1可逆,(A−1)−1=A
性质3: AB=E(orBA=E)⇒B=A−1AB=E(or BA=E) \Rightarrow B=A^{-1}AB=E(orBA=E)⇒B=A−1
性质4: (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
性质5: (AB)−1=B−1A−1类似(AB)T=BTAT(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}类似(AB)^T=B^TA^T(AB)−1=B−1A−1类似(AB)T=BTAT
性质6: (kA)−1=1kA−1(k≠0,A可逆)(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}(k\neq0, A可逆)(kA)−1=k1A−1(k=0,A可逆)
逆矩阵的求法
方法一: 用A⋆求A−1=1∣A∣A⋆A^{\star}求A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{\star}A⋆求A−1=∣A∣1A⋆
方法二: 初等变换法.
A可逆⇒A−1可逆,那么A−1就是非奇异的,也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A−1A可逆\Rightarrow A^{-1}可逆, 那么A^{-1}就是非奇异的, 也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A^{-1}A可逆⇒A−1可逆,那么A−1就是非奇异的,也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A−1
(A⋮E)→行变换→(E⋮A−1)(A\vdots E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E\vdots A^{-1})(A⋮E)→行变换→(E⋮A−1)
只需要将A变成单位矩阵, 同时对E操作, 得到的矩阵就是A的逆矩阵.
练习1: 求[1−1−1−321201]的逆矩阵\left[ \begin{matrix} 1 \quad -1 \quad -1 \\ -3 \quad 2 \quad 1 \\ 2 \quad 0 \quad 1 \end{matrix}\right]的逆矩阵⎣⎡1−1−1−321201⎦⎤的逆矩阵
结果: [211532−4−2−1]\left[ \begin{matrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 5 \quad 3 \quad 2 \\ -4 \quad -2 \quad -1 \end{matrix}\right]⎣⎡211532−4−2−1⎦⎤
练习1: 求[3−452−313−5−1]的逆矩阵\left[ \begin{matrix} 3 \quad -4 \quad 5 \\ 2 \quad -3 \quad 1 \\ 3 \quad -5 \quad -1 \end{matrix}\right]的逆矩阵⎣⎡3−452−313−5−1⎦⎤的逆矩阵
结果: [−829−11−518−71−31]\left[ \begin{matrix} -8 \quad 29 \quad -11 \\ -5 \quad 18 \quad -7 \\ 1 \quad -3 \quad 1 \end{matrix}\right]⎣⎡−829−11−518−71−31⎦⎤