三角函数的最值问题是高中数学中的重要内容.在解决这类问题时，有多种有效的方法可供选择.掌握这些方法不仅有助于准确求解三角函数的最值，还能加深对三角函数性质以及相关数学概念之间联系的理解.求解三角函数最值问题的方法有很多，包括基于函数图象、辅助角公式、单调性分析、参数变换和巧用三角函数等方法，在实际解题过程中，应根据具体问题的特点选择合适的方法，灵活运用各种技巧，以提高解题的准确性和效率.同时，通过对三角函数最值问题的深入研究，也有助于学生更好地理解三角函数的性质，提高数学思维能力和解决实际问题的能力.
1 基于函数图象的解法
基于函数图象的解法，需明确三角函数图象的特点，即周期性、对称性和振幅恒定.正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的图象均为波形曲线，周期为2π，振幅为1.正切函数y=tan x图象为无界曲线，周期为π.正弦和余弦函数在每个周期内均有唯一的极大值和极小值点，分别在y=1和y=-1处.正切函数在每个周期内无最大最小值，但其图象切线的斜率变化显著.
对于形如y=Asin（ωx+φ）+B或形如y=Acos（ωx+φ）+B的函数，可以利用三角函数的图象判断它们的最值.对y=sin x，y=cos x，在每个周期内，波峰和波谷的位置固定，极大值为1，极小值为-1.通过函数图象，可以直观地看到这些极值点的位置.对于正切函数，虽然没有固定的极值点，但可以通过观察切线斜率的变化和渐近线的位置来判断函数值的极限.
例1" （2024＼5天津高考卷＼57）已知函数f（x）=sin 3ωx+π3（ωgt;0）的最小正周期为π.求函数f（x）在－π12，π6的最小值.
思路分析：先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f（x）=-sin 2x；再整体求出x∈－π12，π6时2x的范围，结合正弦型函数图象的特征即可求解.
解析：f（x）=sin 3ωx+π3=sin（3ωx+π）=-sin 3ωx，由T=2π3ω=π，得ω=23，则f（x）=-sin 2x.由x∈－π12，π6，得2x∈－π6，π3.画出y=-sin 2x的图象，
图1
如图1所示，可知f（x）在－π12，π6上单调递减，所以当x=π6时，f（x）min=-sinπ3=-32.
通过结合函数图象并观察其特征，可以直观地判断函数的最大值和最小值.
2 运用辅助角公式求最值
运用辅助角公式求解三角函数的最值问题具有简洁明了的特点.通过辅助角公式，可将复杂的三角函数式子化为较为简单的形式，从而便于分析和求解.辅助角公式的核心在于将形如y=asin" ωx+bcos ωx的表达式简化为y=Rsin（ωx+φ）的形式，其中R=a2+b2且tan φ=ba;也可以化为y=a2+b2＼5cos（ωx-φ）形式，其中tan φ=ab.这种化简方式不仅能快速求得函数的最值，还能直观地理解三角函数的变化规律.
例2" （2024＼5全国甲卷＼5文13）函数f（x）=sin x-3cos x在［0，π］上的最大值是.
思路分析：先通过辅助角公式确定R和φ，最后求出函数最值.
解析：首先确定参数R，R=a2+b2=1+3=2.再确定角度φ，由tan φ=ba=-3，得φ=－π3.将原函数化简为f（x）=sin x一3cos x=2sinx－π3，当x∈［0，π］时，x－π3∈－π3，2π3.故当x－π3=π2，即x=5π6时，f（x）max=2.
综上，通过辅助角公式的推导和化简过程，能够清晰直观地求解三角函数的最值问题，步骤简明、逻辑清晰，适合高中生规范解题.
3 单调性分析法
三角函数的单调性是求解最值问题的重要工具.正弦函数y=sin x在［-π，π］一个周期内，在-π2，π2上单调递增，在π2，π和－π，－π2上单调递减；余弦函数y=cos x在［-π，π］一个周期内，在［0，π］上单调递减，在［-π，0］上单调递增；正切函数y=tan x在－π2，π2一个周期内单调递增.这些单调性特征为最值的求解提供了有力的依据.
例3" （2024＼5北京卷＼512）已知α∈π6，π3，且α与β的终边关于原点对称，求cos β的最大值.
思路分析：首先得出β=α+π+2kπ，k∈Z，结合三角函数单调性即可求解最值.
解析：由题意β=α+π+2kπ，k∈Z，从而cos β=cos（α+π+2kπ）=-cos α.因为α∈π6，π3，所以cos α在π6，π3上单调递减，cos α的取值范围是12，32，则cos β的取值范围是－32，－12，当且仅当α=π3，β=4π3+2kπ，k∈Z时，cos β取得最大值，且最大值为－12.
通过单调性分析法，可以在特定区间内精确找到函数的最大值和最小值.
4 运用参数变换法
参数变换法在解决三角函数最值问题中，通过引入新参数，将复杂的三角函数问题转化为更易处理的形式.该方法的核心在于选取合适的参数进行变换，使原函数的形式简化，便于进一步分析或求解.
例4" （2022高三专题练习）求函数f（x）=cos x+sin x+2sin xcos x+2的最大值.
思路分析：本题可用换元法，令t=cos x+sin x，用含有t的代数式表示2sin xcos x，把原函数转化为二次函数再求最值.
解析：令t=cos x+sin x，则由辅助角公式可得t=2sinx+π4，所以t∈［－2，2］.又t2=（cos x+sin x）2=1+2sin xcos x，则2sin xcos x=t2-1.原函数可化为g（t）=t2+t+1，t∈［-2，2］.对于二次函数g（t）=t2+t+1，其对称轴为t=－12，在－2，－12上单调递减，在－12，2上单调递增.所以当t=－12时，函数g（t）取得最小值34.又当t=－2时，g（t）=3-2，当t=2时，g（t）=3+2，故函数的最大值为3+2，也即f（x）的最大值.
通过参数变换法，将原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，迅速求得其最值.这种方法有效降低了问题的复杂度，提升了解题效率和准确性.
5 巧用三角函数求最值
利用三角函数能够将复杂的几何图形关系、平面向量、解析几何中的曲线问题等转化为更易于分析和求解的形式.它不仅为我们提供了一种有效的解题思路，还能帮助我们更深入地理解数学中不同概念之间的联系.
例5" （2023＼5全国乙卷＼5理12）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，求PA·PD的最大值.
思路分析：首先作出示意图，然后将数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，利用二倍角公式化简，再使用辅助角公式求最值.
图2
解析：如图2，设∠DPO=α，由题意可知α∈0，π4，|PO|=2，|OA|=1，∠OPA=π4，|PD|=|PO|cos α=2cos α，∠APD=π4+α，所以PA·PD=|PA|·|PD|cosπ4+α=2cos αcosπ4+α=2cos α22cos α－22sin α=cos2α－cos αsin α=12+12cos 2α－12sin 2α=12+22cos2α+π4≤12+22.
例5nbsp; （2023＼5全国乙卷＼5文11）已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y－4=0，求x－y的最大值.
思路分析：先把圆的一般方程化简成标准方程，然后用三角换元求x－y，再使用辅助角公式求最值.
解析：由x2+y2－4x－2y－4=0，得（x－2）2+（y－1）2=9.令x=3cos α+2，y=3sin α+1，其中α∈［0，2π］，则x－y=3cos α－3sin α+1=32cosα+π4+1.由α∈［0，2π］，可得α+π4∈π4，9π4，则α+π4=2π，即α=7π4时，x－y取得最大值32+1.
巧用三角函数进行换元这种方法不仅体现了数学知识之间的紧密联系，也展现了数学思维的灵活性和巧妙性，帮助我们在解决数学难题时能够另辟蹊径，达到事半功倍的效果.
综上所述，三角函数最值问题的解法多种多样，每种方法都有其独特的优势和适用场景.基于函数图象的解法直观明了，通过观察图象特征可轻松判断最值；借助辅助角公式能将复杂式子化简，便于求解；单调性分析法利用三角函数的单调区间，可精确找到最值；参数变换法通过巧妙引入新参数简化问题；巧用三角函数能够将其他数学问题转化为易于分析的形式.这些方法展示了三角函数知识在数学解题中的强大作用，也体现了数学思维的灵活性和逻辑性，熟练掌握这些方法对于解决数学问题具有重要意义.